Print denne side

Opgaver i beviser

Resultater til opgaverne - klik her

 

Opgave 1

  • udregn summen af de 2 første ulige tal dvs. $1+3$

  • udregn summen af de 3 første ulige tal

  • udregn summen af de 4 første ulige tal

  • udregn summen af de 5 første ulige tal

Se på resultaterne af de udregnede summer. Der er tale om en særlig type tal. Hvilken type? Kan du formulere en sætning, der generaliserer det, du har opdaget?

 

Opgave 2

Når vi benytter Pythagoras´ sætning i en retvinklet trekant støder vi nogle gange på tilfælde, hvor alle sidelængderne er hele tal, f.eks. gælder det at $3^{2}+4^{2}=5^{2}$. Talsæt som $(3,4,5)$ kaldes pythagoræiske tripler.

Findes der flere sæt af heltal der løser ligningen: $a^{2}+b^{2}=c^{2}$? Ja! Prøv med $a=6$, $b=8$ og $c=10$.

Kan du bevise at der findes uendeligt mange pythagoræiske tripler?

Vink: Hvis du ved at heltalssættet $(a,b,c)$ opfylder $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ og vi betragter et helt tal $z$: hvad gælder da om talsættet MATH?

 

Opgave 3

Bevis sætningen:

Hvis $x^{2}$ er et ulige tal, så er $x$ et ulige tal

 

Opgave 4

Et bevis for $2=1$?

Lad os omskrive følgende ligning

MATH

Vi ganger med $a$ på begge sider

MATH

altså

MATH

Vi lægger $a^{2}-2a\cdot b$ til på begge sider:

MATH

og gør det lidt pænere:

MATH

Vi sætter 2 uden for en parentes på venstresiden:

MATH

Til sidst dividerer vi på begge sider med $a^{2}-a\cdot b$ Da fås:

MATH

Ved at forkorte ses da:

MATH

Hvad gik galt undervejs?