Print denne side

Parallel-aksiomet

En af de store bedrifter i matematikken er forsøget på at opbygge geometrien ud fra definitioner og aksiomer: ved logiske slutninger udleder man da de matematiske sætninger. Man bygger geometrien op på aksiomatisk grundlag hedder det.

En god illustration af hvordan et aksiom fungerer i forhold til en sætning finder vi i afsnittet om trekantens vinkelsum i bogen s. 85-86.

I beviset for at "vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ }$" benyttede vi undervejs at (lad os betegne følgende formulering med symbolet ‡) :

‡ "Når en ret linje skærer to parallelle rette linjer, da er de ensliggende vinkler lige store"

Med andre ord er $v_{1}$ og $v_{2}$ nedenfor lige store, hvis de rette linjer $l$ og $m$ er parallelle:


Hvorfor gælder ‡? I virkeligheden kan ‡ føres direkte tilbage til et af aksiomerne i geometrien. ‡ kan udledes af et aksiom som allerede Euklid arbejdede med i de berømte bøger "Elementer" fra ca. 300 f. Kr.. Aksiomet kaldes parallelaksiomet.

Parallelaksiomet:

"Når en ret linje skærer to rette linjer, og de indvendige vinkler på samme side tilsammen er mindre end to rette, så mødes de to linjer, når de forlænges ubegrænset, på den side, hvor de to vinkler ligger, der tilsammen er mindre end to rette"


I ovenstående figur gælder altså ifølge parallelaksiomet, at da $w_{1}$ og $w_{2}$ tilsammen er mindre end $180^{\circ }$, vil linjerne $n$ og $k$ skære hinanden ude til højre på figuren.

Netop dette parallelaksiom har historisk set været enormt omdiskuteret: Kan man undvære det i opbygningen af geometrien? Og hvad sker der hvis man ikke tager det med blandt aksiomerne?

Lidt historie:

Matematikere har kæmpet med at bevise parallelaksiomet udfra andre aksiomer og grundlæggende definitioner. Den ungarske matematiker Wolfgang Bolyai (1775-1860) kæmpede hele livet og udbrød om parallelaksiomets problemer: " Det er ubegribeligt, at denne uafvendelige dunkelhed, denne evige solformørkelse, denne skamplet på geometrien, denne evige sky over den jomfruelige sandhed kunne tillades"

Hvis man tager paralllelaksiomet med i grundlaget for matematikken, kan vi bevise, at "vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ }$".

"Vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ }$" bliver da en matematisk sætning, der er udledt ud fra parallelaksiomet.

Hvis man omvendt havde taget sætningen "vinkelsummen i en trekant er $180^{\circ }$" som et aksiom, kunne ‡ udledes som en sætning.

Man træffer altså her et valg om hvad der skal være aksiom og hvad følgelig, der skal være sætning.

Antager man endelig at ‡ ikke gælder: ja, da får man en helt anden geometri, der ikke umiddelbart vil kunne genkendes i den omgivende verden. En sådan geometri kalder man en ikke-euklidisk geometri.