Det følgende kan ses som en udbygning af bogens kapitel om beviser. Du kan her på hjemmesiden læse om:

• Flere direkte beviser
  

• Bevis ved "kontraposition"

• Flere indirekte beviser

• Eksistensbeviser

• Bevisernes død? - Mere om computerbeviser

Du kan også på hjemmesiden finde materiale om "Matematikken som ideal" og nogle opgaver vedrørende beviser.

Vi vil undersøge sætningen:

Hvis er et ulige tal, så er et ulige tal

Bevis:
Ved et ulige tal forstår vi et tal, , der kan skrives på formen hvor er et helt tal. Et helt tal er enten lige eller ulige.
Da er ulige, findes et helt tal , så . Da fås (regn selv efter). Altså haves

Da kan altså skrives på formen . Da er et ulige tal.

Under "Flere direkte beviser" så vi på sætningen: Hvis er ulige, så er ulige. Denne sætning har strukturen: Udsagn medfører Udsagn . Det skriver man kort som:

Man kan vise at det logisk set er det samme at bevise

som at bevise

At bevise at medfører er altså det samme som at bevise at benægtelsen af medfører benægtelsen af . At benytte denne metode til at bevise kaldes at føre bevis ved kontraposition.

Lad os undersøge sætningen:

Hvis er et lige tal, så er et lige tal

Bevis:
Hvis vi vil bevise ovenstående sætning ved kontraposition, skal vi bevise:

Hvis er et ulige tal, så er et ulige tal

Men det er bevist ovenfor under "Flere direkte beviser"! Det gælder altså at hvis er et lige tal, så er et lige tal.

Ovenfor benyttede vi "bevis ved kontraposition" for at vise:

Hvis er et lige tal, så er et lige tal

Men man kan også føre et indirekte bevis:
Lad os da antage at er et lige tal, men er et ulige tal. Når er et ulige tal, siger sætningen under "Flere direkte beviser", at da er ulige. Dette er i modstrid med hvad vi antog. Da må være et lige tal.

Man kan altså godt have beviser af flere forskellige typer for samme matematiske sætning.

I matematik kan man også arbejde med eksistensbeviser. Man kan tænke sig at man leder efter en bestemt løsning til at problem. Et eksistensbevis viser at der eksisterer en løsning, men ikke nødvendigvis hvad løsningen er. Det kan være et vigtigt skridt på vejen til løsningen.

Siden Firefarveproblemet blev løst vha. computere i 1976 har man diskuteret computerens svagheder og styrker. I forbindelse med beviser er der især tre styrker:

• Computeren kan undersøge "cases", dvs. specialtilfælde

• Computeren kan behandle store regneopgaver

• Computeren kan også håndtere symbolske udtryk, formler m.m. De kan sågar komme med matematiske hypoteser.

I tilfældet med firefarveproblemet var ideen i beviset at reducere det helt generelle problem til et antal "cases" der kunne undersøges vha. computere. Gennemregning af disse cases varen uoverkommelig menneskelig opgave.

Hvad går kritikken af computerbeviser da på?

For eksempel:

• Computerprogrammer kan rumme programmeringsfejl
• Beviser kan være utroligt komplicerede og uoverskuelige
• I en vis forstand er beviserne uæstetiske

I debatten om computerprogrammer findes både "traditionalister" og "fornyere". Traditionalister forsvarer matematikkens klassiske dyder, mens fornyerne argumenterer for computernes brugbarhed i beviserne. Fornyerne anfører at ganske vist kan programmerne rumme fejl, men det er ikke særegent for computerprogrammer. Det gælder også for ikke-computerbeviser. "Beviser" i forbindelse med netop firefarveproblemet har eksempelvis flere gange været behæftet med fejl.

Matematikken udvikler sig også i retning af flere hundreder sider lange, komplicerede beviser som kun få er i stand til at gennemskue. Så er uoverskueligheden af computerbeviser en god indvending?

Endelig er den klassiske matematikers krav om enkelthed og elegance måske nok fornemme idealer, men kan de betegnes som afgørende?

Måske er det computerbevisets mest ubehagelige side at det ikke er overskueligt i betydningen: muligt at arbejde sig igennem ogfå et overblik. Er en sætning bevist hvis ingen faktisk i praksis kan læse beviset?