• Matematiske modeller
  Materiale: Del 4: 'Matematisk modellering' af Morten Blomhøj s. 147-172 i bogen.

• Den faldende golfbold
  Matematisk modellering - et eksempel. Materiale: (link til pdf-fil)

• Om beviser - deduktive forløb
  Materiale: Del 7 i bogen
  Rapport: Forløbet kan afsluttes med at eleverne i grupper vælger et bevis som de fremlægger (hvilke beviser der kan anvendes afhænger af hvornår i B-forløbet man lægger forløbet).

• Annuitetsregning - forløb om annuitetslån
  Materiale: Forløb om annuitetsopsparing (link til pdf-fil), forløb om annuitetslån (link til pdf-fil) og Forløb om lånetyper (link til pdf-fil)
  Rapport: Der er rige muligheder for at skrive en rapport - fx ud fra indsamlet materiale fra banker og andre udlånsvirksomheder.

• Indkomstskat i Danmark
  Forløbet kan evt. være i samarbejde med samfundsfag samt dansk
  Materiale: link til pdf-fil
  Rapport: Der er mange muligheder for differentiering i niveau. Skattesystemet er kompliceret. Rapporten kan være en avisartikel om skattesystemet, en pjece til danske borgere, eller fremlæggelser af mere komplicerede beregninger af den faktiske skatteprocent.

• Om Simpsons paradoks (statistik)
  Materiale: Forløb om Simpsons paradoks (link), note: Inge Henningsen - Simpsons paradoks (link til pdf-fil), slides: Inge Henningsen - Simpsons paradoks - slides (link til pdf-fil).

• Hvad er meningen? Om meningsmålinger (statistik)
  Materiale: Hvad er meningen? - forløb i statistik (link) og note: Elevmateriale til Hvad er meningen? (link til pdf-fil)

• Eksperimenterende forløb klassisk geometri (link)

• Kriminalitet (link)

• Kan det gøres bedre? Forløb om lineær programmering (link)

• Velfærdssamfundet og befolkningsudvikling i Danmark (link)

• Radioaktivt henfald (link)

• Kinematik - projekter om emner fra det naturvidenskabelige gennembrud (link)

• Risikovurdering med eksempler fra store katastrofer som Three Mile Island og Challenger
  Materiale: Risikovurdering med eksempler (link) og note: Noter forløb om risikovurdering (link til pdf-fil)

• Arealberegning ved hjælp af integralregning.
  Forløb der afdækker arealberegning ved hjælp af summer. Materiale: anvendelse af appletten her på hjemmesiden.

• Mængdelære
  Materiale: (link)

• Logikkens sprog og symboler
  Materiale: (link)

• Regnestok og logaritmer
  Materiale: (link til pdf-fil)

Se i øvrigt de paradigmatiske eksempler på www.emu.dk.

- et samarbejde mellem matematik og fysik

Paradigmatisk eksempel 230 fra www.emu.dk

Radioaktivt henfald er et oplagt emne for et samarbejde mellem matematik og fysik. Nedenfor præsenteres nogle muligheder for et sådant samarbejde, afhængigt af elevernes niveau og forudsætninger i de to fag og af, hvor lang tid man ønsker at bruge på forløbet. Man kan nøjes med at undersøge et enkelt radioaktivt henfald og opstille en model herfor. Men typisk er det nye stof, der dannes ved et henfald, selv radioaktivt og vil ved et nyt henfald omdannes til et tredje stof. Det er derfor nærliggende at udvide forløbet til også at behandle en sådan kæde af henfald. I dette arbejde kan man eventuelt udnytte kendskab til differentialligninger.

Mål (matematikkompetencer)

• anvende funktionsudtryk og afledet funktion i opstilling af matematiske modeller på baggrund af datamateriale eller viden fra andre fagområder, kunne forholde sig reflekterende til idealiseringer og rækkevidde af modellerne, kunne analysere givne matematiske modeller og foretage simuleringer og fremskrivninger

• demonstrere viden om matematikanvendelse inden for udvalgte områder

• anvende it-værktøjer til løsning af givne matematiske problemer.

Niveau

Forløbet bygger på elevernes kendskab til eksponentiel vækst og differentialregning. Det er endvidere muligt at inddrage differentialligninger i arbejdet. Emnet egner sig derfor til klasser med matematik på A- eller B-niveau.

Samarbejdsmuligheder

Undervisningsforløbet gennemføres i et samarbejde mellem matematik og fysik og er kun egnet til klasser, der har begge disse fag. I fysik indgår radioaktivitet som kernestof på A- og B-niveau, men ikke på C-niveau.

Forslag til forløb

Det forudsættes, at eleverne har kendskab til den eksponentielle vækstmodel. Det radioaktive henfald kan introduceres ved en tilfældighedsmodel og simuleres med terningkast (f.eks. som beskrevet i Manhattan Projektet, se nedenfor). Til resultatbehandlingen benyttes eksponentiel regression, og det fremkomne funktionsudtryk fortolkes. I fysik gennemføres målinger på et eller flere radioaktive stoffer med en tilsvarende resultatbehandling. I arbejdet med henfaldsloven og begrebet aktivitet inddrages differentialregning (f.eks. som beskrevet i Gymnasiematematik 2A, se nedenfor). Forløbet kan afsluttes med rapportskrivning, fælles for matematik og fysik.

Man kan desuden inddrage henfaldskæder (se f.eks. Manhattan Projektet) og opstille en model ved hjælp af differentialkvotienter. Modellen analyseres, og henfaldene simuleres med et passende it-værktøj. Hvis eleverne har kendskab til løsning af differentialligninger, kan det inddrages i arbejdet med modellering af en henfaldskæde (f.eks. som beskrevet i Modeller i Derive, se nedenfor).

Forløbet kan tilrettelægges som emnearbejde i grupper eller som projektarbejde.

Anvendelse af it og værktøjsprogrammer

Resultatbehandling for forsøgene med terningkast og måling på radioaktive stoffer kan f.eks. ske med programmet FPro eller et regneark. Til arbejdet med differentialligningsmodellerne kan f.eks. FPro eller Derive benyttes.

Undervisningsmaterialer

Emnet er behandlet mange steder. Forløb som de ovenfor skitserede, kan f.eks. bygge på:

• Christensen og Meyer, Manhattan Projektet, Munksgaard 1989 (kapitel 2)

• Jessen, Møller, Mørk, Gymnasiematematik 2A -- Vektorer, geometri og differentialregning, Gyldendal 1998 (s. 247 ff.)

• Hjersing, Hammershøj Jensen, Jørgensen, Modeller i Derive, Matematiklærerforeningen 2004 (projekt nr. 9).