Print denne side

Oversigt over forløb til B-niveau

- her på www.matema10k.dk

  • Matematiske modeller
    Materiale: Del 4: 'Matematisk modellering' af Morten Blomhøj s. 147-172 i bogen.

  • Den faldende golfbold
    Matematisk modellering - et eksempel. Materiale: (link til pdf-fil)

  • Om beviser - deduktive forløb
    Materiale: Del 7 i bogen
    Rapport: Forløbet kan afsluttes med at eleverne i grupper vælger et bevis som de fremlægger (hvilke beviser der kan anvendes afhænger af hvornår i B-forløbet man lægger forløbet).

  • Annuitetsregning - forløb om annuitetslån
    Materiale: Forløb om annuitetsopsparing (link til pdf-fil), forløb om annuitetslån (link til pdf-fil) og Forløb om lånetyper (link til pdf-fil)
    Rapport: Der er rige muligheder for at skrive en rapport - fx ud fra indsamlet materiale fra banker og andre udlånsvirksomheder.

  • Indkomstskat i Danmark
    Forløbet kan evt. være i samarbejde med samfundsfag samt dansk
    Materiale: link til pdf-fil
    Rapport: Der er mange muligheder for differentiering i niveau. Skattesystemet er kompliceret. Rapporten kan være en avisartikel om skattesystemet, en pjece til danske borgere, eller fremlæggelser af mere komplicerede beregninger af den faktiske skatteprocent.

  • Om Simpsons paradoks (statistik)
    Materiale: Forløb om Simpsons paradoks (link), note: Inge Henningsen - Simpsons paradoks (link til pdf-fil), slides: Inge Henningsen - Simpsons paradoks - slides (link til pdf-fil).

  • Hvad er meningen? Om meningsmålinger (statistik)
    Materiale: Hvad er meningen? - forløb i statistik (link) og note: Elevmateriale til Hvad er meningen? (link til pdf-fil)

  • Eksperimenterende forløb klassisk geometri (link)

  • Kriminalitet (link)

  • Kan det gøres bedre? Forløb om lineær programmering (link)

  • Velfærdssamfundet og befolkningsudvikling i Danmark (link)

  • Radioaktivt henfald (link)

  • Kinematik - projekter om emner fra det naturvidenskabelige gennembrud (link)

  • Risikovurdering med eksempler fra store katastrofer som Three Mile Island og Challenger
    Materiale: Risikovurdering med eksempler (link) og note: Noter forløb om risikovurdering (link til pdf-fil)

  • Arealberegning ved hjælp af integralregning.
    Forløb der afdækker arealberegning ved hjælp af summer. Materiale: anvendelse af appletten her på hjemmesiden.

  • Mængdelære
    Materiale: (link)

  • Logikkens sprog og symboler
    Materiale: (link)

  • Regnestok og logaritmer
    Materiale: (link til pdf-fil)

Se i øvrigt de paradigmatiske eksempler på www.emu.dk.

Logikkens sprog

I matematik ønsker man sig en stor grad af sproglig præcision. Til det formål benytter man en række begreber fra logikken. Vi ser her på nogle af dem. Det drejer sig om:

1) implikationen

2) biimplikationen

3) negationen

4) konjunktionen (også kaldet "logisk og")

5) disjunktionen (også kaldet "logisk eller")

Implikation

Eksempel

Lad os undersøge Pythagoras´ sætning:

"Hvis en trekant $ABC$ er retviklet og har $angle C=90U{b0}$, så gælder $a^{2}+b^{2}=c^{2}$" (her underforstår vi den sædvanlige navngivning af siderne). Pythagoras´ sætning siger at hvis udsagnet (lad os kalde det $p$): "en trekant ABC er retviklet og har $angle C=90U{b0}$" er sandt, så er udsagnet (lad os kalde det $q$): "$a^{2}+b^{2}=c^{2}$" også sandt. Man siger at $p$ medfører $q$. Man siger også at $p$ implicerer $q$ samt at Pythagoras´ sætning er en implikation.

Sprogbrug og skrivemåde

Vi så i eksemplet ovenfor at Pythagoras´ sætning havde strukturen $p$ medfører $q$. Dermed menes at hvis $p$ er sand, så er $q$ sand. Man siger også at $q$ følger af $p$.

I stedet for at skrive "$p$ medfører $q$" bruger man skrivemåden: $pRightarrow q.$

Husk

Du skal huske at i $pRightarrow q$ er $p$ og $q$ udsagn (påstande). Implikationspilen anvendes således mellem udsagn - og ikke mellem tal.

Eksempel: fejlagtig brug af implikation

Det følgende er en forkert brug af implikationen: $2+5Rightarrow 7$. Implikationspilen kan udelukkende bruges mellem udsagn. Men $2+5$ og $7$ ikke er udsagn. Det er tal. Lighedstegnet er det korrekte symbol: $2+5=7$.

Eksempel

Implikationspilen kan derimod bruges her:

MATH. Her siger man at hvis $x=2$, så medfører det $x^{2}=4$. Bemærk vi siger her ikke noget om at udsagnet $x=2$ faktisk er sandt. Vi siger blot at hvis $x=2$ er sandt, så er også $x^{2}=4$ sandt.

Biimplikation

Eksempel

Man siger at de to ligninger:

$x+x-2=4$ og

$2x=6$ er ensbetydende da ligningen $x+x-2=4$ medfører $2x=6,$ og omvendt at $2x=6$ medfører $x+x-2=4$.

Sprogbrug og skrivemåde

Man siger at udsagnet $p$ er ensbetydende med $q$ når $pRightarrow q$ og $qRightarrow p$. Man bruger skrivemåden MATH Når MATH siger man også at $p$ og $q$ er ækvivalente, og man kan anvende vendingen: $p$ hvis og kun hvis $q$.

$Leftrightarrow $ kaldes en biimplikation. Det kommer af det latinske "bi-" dvs. "to gange". Biimplikationen kan betragtes som "samlingen af en implikationen den ene vej og en implikation den anden vej". Bemærk at vi ikke siger noget om hvorvidt $p$ er sand. Vi siger blot at hvis $p$ er sand, så er $q$ sand (og hvis $p$ er falsk, så er $q$ falsk).

Eksempel med fejlagtig brug af biimplikation

Det følgende er en forkert brug af biimplikationen: MATH. Hvorfor? Både $x=2$ og $x^{2}=4$ er jo udsagn! Endvidere kan vi se at MATH idet hvis $x=2$ så er $x^{2}=4$. Men gælder det også at MATH? NEJ! Der gælder at $x^{2}=4$ medfører at $x=2$ eller $x=-2$. Derfor kan vi ikke skrive MATH, men det er korrekt at skrive $x=2$ eller MATH

Eksempel

Biimplikationen kan anvendes i følgende formulering:

"Trekant $ABC$ er ligesidet hvis og kun hvis trekant $ABC$ er ligevinklet" (ligevinklet vil sige at trekanten har tre lige store vinkler). Hvis vi kalder udsagnet "Trekant $ABC$ er ligesidet" for $p$ og udsagnet "trekant $ABC$ er ligevinklet" for $q$, kan man nemlig vise at $pRightarrow q$ og $qRightarrow p$, altså $pLeftrightarrow q$.

Eksempel

Man kan anvende biimplikationspile når man løser ligninger, f.eks.:

MATH

MATH

MATH

$x= </p> <p class=rac{15}{11}$" style="vertical-align: -8px;" height="25" width="49" />

Andre begreber fra logikken

Ud over begreberne implikation og biimplikation vil vi her kort omtale negationen, konjunktionen og disjunktionen.

Negationen

Lad os kalde udsagnet "det regner" for $p$. Udsagnet "det regner ikke" er da en benægtelse at af $p$. Man bruger skrivemåden $lnot p$. Vi kan altså eksempelvis sige at udsagnet $lnot (x eq 0)$ er det samme som $x=0$

Konjunktionen (logisk og)

Tegnet $wedge $ kaldes "logisk og" eller konjunktionen. Har vi udsagnene $p$ og $q$, er $pwedge q$ sand, hvis og kun hvis at $p$ OG $q$ er sande. Hvis én eller begge udsagn er falsk(e), er $pwedge q$ falsk.

Disjunktionen (logisk eller)

Tegnet $ </p> <p class=ee $" style="vertical-align: -4px;" height="21" width="12" /> kaldes "logisk eller" eller disjunktionen. Har vi udsagnene $p $ og $q$, er $p </p> <p class=ee q$" style="vertical-align: -4px;" height="21" width="36" /> sand, hvis $p$ eller $q$ er sande (eller begge). Kun hvis både $p$ og $q$ er falske er $p </p> <p class=ee q$" style="vertical-align: -4px;" height="21" width="36" /> falsk.

Tegnet "logisk eller" kan anvendes hvis man løser en ligning, og der er flere løsninger. Dette gælder fx i andengradsligninger med to løsninger. Man kan da skrive:

MATH