• Matematiske modeller
  Materiale: Del 4: 'Matematisk modellering' af Morten Blomhøj s. 147-172 i bogen.

• Den faldende golfbold
  Matematisk modellering - et eksempel. Materiale: (link til pdf-fil)

• Om beviser - deduktive forløb
  Materiale: Del 7 i bogen
  Rapport: Forløbet kan afsluttes med at eleverne i grupper vælger et bevis som de fremlægger (hvilke beviser der kan anvendes afhænger af hvornår i B-forløbet man lægger forløbet).

• Annuitetsregning - forløb om annuitetslån
  Materiale: Forløb om annuitetsopsparing (link til pdf-fil), forløb om annuitetslån (link til pdf-fil) og Forløb om lånetyper (link til pdf-fil)
  Rapport: Der er rige muligheder for at skrive en rapport - fx ud fra indsamlet materiale fra banker og andre udlånsvirksomheder.

• Indkomstskat i Danmark
  Forløbet kan evt. være i samarbejde med samfundsfag samt dansk
  Materiale: link til pdf-fil
  Rapport: Der er mange muligheder for differentiering i niveau. Skattesystemet er kompliceret. Rapporten kan være en avisartikel om skattesystemet, en pjece til danske borgere, eller fremlæggelser af mere komplicerede beregninger af den faktiske skatteprocent.

• Om Simpsons paradoks (statistik)
  Materiale: Forløb om Simpsons paradoks (link), note: Inge Henningsen - Simpsons paradoks (link til pdf-fil), slides: Inge Henningsen - Simpsons paradoks - slides (link til pdf-fil).

• Hvad er meningen? Om meningsmålinger (statistik)
  Materiale: Hvad er meningen? - forløb i statistik (link) og note: Elevmateriale til Hvad er meningen? (link til pdf-fil)

• Eksperimenterende forløb klassisk geometri (link)

• Kriminalitet (link)

• Kan det gøres bedre? Forløb om lineær programmering (link)

• Velfærdssamfundet og befolkningsudvikling i Danmark (link)

• Radioaktivt henfald (link)

• Kinematik - projekter om emner fra det naturvidenskabelige gennembrud (link)

• Risikovurdering med eksempler fra store katastrofer som Three Mile Island og Challenger
  Materiale: Risikovurdering med eksempler (link) og note: Noter forløb om risikovurdering (link til pdf-fil)

• Arealberegning ved hjælp af integralregning.
  Forløb der afdækker arealberegning ved hjælp af summer. Materiale: anvendelse af appletten her på hjemmesiden.

• Mængdelære
  Materiale: (link)

• Logikkens sprog og symboler
  Materiale: (link)

• Regnestok og logaritmer
  Materiale: (link til pdf-fil)

Se i øvrigt de paradigmatiske eksempler på www.emu.dk.

Paradigmatisk eksempel 143 fra www.emu.dk

- et projekt-forløb om geometri

Forudsætninger

Kort generel introduktion til de geometriske begreber ved klasseundervisning (geometriske steder).

Kendskab til geometriske konstruktioner ved brug af Geometriprogrammet (punkter, linjer, oprejse den vinkelrette, konstruere parallel linje mv.).

Formål: Eleverne skal lære hvordan et matematisk bevis kan udformes. De skal se animationer af beviser for Pythagoras' sætning på internettet, og de skal gennemføre et bevis for sætningen uden hjælpemidler. De skal lære at bruge internettet kritisk til informationssøgning. Diskussion af kvaliteten af nogle af de sider eleverne har besøgt.

Mål: Eleverne skal finde ud af, hvem Pythagoras var, og de skal kunne gennemføre et bevis for Pythagoras' sætning uden hjælpemidler.

Tidsramme: ca. 3 lektioner i alt.

Organisering: Individuelt (eller parvist).

Problemformulering: Hvem var Pythagoras? Hvilket matematisk resultat er Pythagoras mest berømt for? Hvordan kan man bevise Pythagoras' sætning?

Produkt: Gennem søgning på internettet skal eleverne finde de relevante oplysninger om Pythagoras og skrive disse ind i et sædvanligt Word-dokument sammen med link til den/de internetsider, de har brugt som kilder. Selve beviset for sætningen skal ikke gengives, men blot angives ved et præcist link i deres dokument. Dokumentet gemmes i en online-mappe før en given deadline, så man som lærer kan nå at se noget af det igennem før næste lektion.

1. lektion samt lektie: Søgning på internettet og udfærdigelse af dokument.

2. + 3. lektion: Fremlæggelse, diskussion og bevis for Pythagoras' sætning.

Parvist gennemser eleverne nogle af de resultater, kammeraterne har præsenteret i emnemappen, og derefter diskuterer man i klassen, hvordan man orienterer sig i forhold til afsender og lødighed af det materiale, man har fundet.

Herefter udvælges et bevis til fælles analytisk gennemgang på tavlen.

Man kan evt. se filmen The Theorem of Pythagoras fra Project Mathematics: http://www.projectmathematics.com/.

Formål: Eleverne skal opnå indsigt i nogle af de klassiske geometriske sammenhænge, der gælder i en trekant. De skal have en forståelse for arbejdsgangen i at gå fra opdagelsen af en given sammenhæng til at formulere et egentligt matematisk bevis for denne sammenhæng. De skal gennem en geometrisk konstruktion finde en geometrisk sammenhæng, som de derefter er i stand til at eftervise analytisk. Derudover skal de kunne formidle denne viden til andre på deres eget niveau. Endelig skal de kunne bruge disse geometriske resultater til at løse problemstillinger med et tilsvarende geometrisk indhold.

Mål: Eleverne skal kunne give et analytisk bevis for de fire sætninger, som beskriver de særlige egenskaber, der er ved linjerne: medianer, midtnormaler, vinkelhalveringslinjer og højder i en trekant.

Tidsramme: 6 lektioner i alt.

Organisering:

Arbejdet foregår i 2 (3) faser:

Udviklingsfasen: 2 4 grupper med 3-4 elever i hver (gerne niveaudelt).

Fremlæggelsesfasen: De første grupper splittes op, og der dannes nye grupper med 4 personer, som hver især har ansvaret for at videregive sin udviklingsgruppes geometriske resultater, dvs. fremlægge udviklingsgruppens produkt.

Evt. afslutning med en individuel opgaveaflevering.

1. - 3. lektion: Udviklingsgrupperne (dubleret) arbejder med hver deres problemformulering.

3. - 6. lektion: Udviklingsgruppernes resultater fremlægges i nye grupper.

NB! Undervejs bør man følge gruppernes arbejde tæt. Man kan evt. have en række tips, som eleverne kan hente hjælp fra, hvis de går i stå. Man kan også vælge at lade dem gengive et bevis for sætningen, hvis de ikke selv kan komme i gang.

Problemformuleringer

1. Tegn i geometriprogrammet en trekant samt alle trekantens medianer. Undersøg om følgende resultater gælder:

I en trekant skærer medianerne alle hinanden i samme punkt.

Medianerne i en trekant deler hinanden i forholdet 2:1.

Udfør herefter et analytisk bevis for resultaterne, idet I udnytter jeres kendskab til en medians egenskaber.

2. Tegn i geometriprogrammet en trekant samt alle trekantens midtnormaler. Undersøg om følgende resultater gælder:

I en trekant skærer midtnormalerne alle hinanden i samme punkt.

Midtnormalernes skæringspunkt er centrum for den omskrevne cirkel.

Udfør herefter et analytisk bevis for resultaterne, idet I udnytter jeres kendskab til en midtnormals egenskaber.

3. Tegn i geometriprogrammet en trekant samt alle trekantens vinkelhalveringslinjer. Undersøg om følgende resultater gælder:

I en trekant skærer vinkelhalveringslinjerne alle hinanden i samme punkt.

Vinkelhalveringslinjernes skæringspunkt er centrum for den indskrevne cirkel.

Udfør herefter et analytisk bevis for resultaterne, idet I udnytter jeres kendskab til en vinkelhalveringslinjes egenskaber.

4. Tegn i geometriprogrammet en trekant samt alle trekantens højder. Undersøg om følgende resultater gælder:

I en trekant skærer højderne alle hinanden i samme punkt.

Udfør herefter et analytisk bevis for resultaterne, idet I udnytter jeres kendskab til en højdes egenskaber.

Produkt

Hver gruppe udarbejder følgende:

Et elektronisk dokument, som intuitivt viser sætningens påstand, dvs. en instruktionstekst samt en interaktiv figur.

Et analytisk bevis for sætningen skrevet ud i detaljer med argumentation, der kan læses og forstås af resten af klassen (også elektronisk form).

Senest [deadline] anbringes begge produkter i online-mappen ''Linjer i trekanten", således at de andre grupper let kan finde dokumenterne og forberede sig på oplæggene til næste lektion (alternativt må man kopiere og udlevere).

Individuel løsning af et antal mindre geometriske problemstillinger, f.eks. et antal opgaver, med et særligt krav om, at geometriprogrammet skal anvendes i løsningen af disse.